Il semplice movimento armonico è stato inventato dal matematico francese Baron Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822. Edwin Armstrong (dal 18 dicembre 1890 al 1 febbraio 1954) ha osservato oscillazioni nel 1992 nei loro esperimenti e Alexander Meissner (dal 14 settembre 1883 al 3 gennaio 1958) ha inventato oscillatori nel marzo 1993. Il termine armonico è una parola latina. Questo articolo discute una panoramica dell'oscillatore armonico che include la sua definizione, il tipo e le sue applicazioni.

Cos'è l'oscillatore armonico?

L'oscillatore armonico è definito come un movimento in cui la forza è direttamente proporzionale alla particella dal punto di equilibrio e produce un'uscita in una forma d'onda sinusoidale. La forza che causa l'armonica movimento può essere espresso matematicamente come

F = -Kx

Dove,

F = Ripristino della forza

K = costante della molla

X = Distanza dall'equilibrio

diagramma-a-blocchi-di-oscillatore-armonico

C'è un punto nel moto armonico in cui il sistema oscilla, e la forza che porta la massa ancora e ancora nello stesso punto da dove inizia, la forza è chiamata forza di ripristino e il punto è chiamato punto di equilibrio o posizione media. Questo oscillatore è anche noto come oscillatore armonico lineare . L'energia fluisce da attivo componenti ai componenti passivi nell'oscillatore.

Diagramma a blocchi

Il schema a blocchi dell'oscillatore armonico consiste di un amplificatore e una rete di feedback. L'amplificatore viene utilizzato per amplificare i segnali e che i segnali amplificati vengono fatti passare attraverso una rete di feedback e genera l'uscita. Dove Vi è la tensione di ingresso, Vo è la tensione di uscita e Vf è la tensione di feedback.

Esempio

Messa in primavera: La molla fornisce una forza di ripristino che accelera la massa e la forza di ripristino è espressa come

F = ma

Dove 'm' è la massa e a è un'accelerazione.

“di cosa sono fatti i circuiti? ”

massa su una molla

La molla è composta da una massa (m) e una forza (F). Quando la forza tira la massa in un punto x = 0 e dipende solo dalla posizione x della massa e la costante della molla è rappresentata da una lettera k.

Tipi di oscillatore armonico

I tipi di questo oscillatore includono principalmente i seguenti.

Oscillatore armonico forzato

Quando applichiamo una forza esterna al movimento del sistema, si dice che il movimento sia un oscillatore armonico forzato.

Oscillatore armonico smorzato

Questo oscillatore è definito come, quando applichiamo una forza esterna al sistema, il movimento dell'oscillatore si riduce e si dice che il suo movimento sia un movimento armonico smorzato. Esistono tre tipi di oscillatori armonici smorzati

forme d'onda di smorzamento

Over Damped

Quando il sistema si muove lentamente verso il punto di equilibrio, si dice che sia un oscillatore armonico sovrasmorzato.

Under Damped

Quando il sistema si sposta rapidamente verso il punto di equilibrio, si dice che sia un oscillatore armonico sovrasmorzato.

Critico smorzato

Quando il sistema si muove il più velocemente possibile senza oscillare attorno al punto di equilibrio, si dice che sia un oscillatore armonico sovrasmorzato.

Quantum

È stato inventato da Max Born, Werner Heisenberg e Wolfgang Pauli all ''Università di Gottinga'. La parola quantum è la parola latina e il significato di quantum è una piccola quantità di energia.

Energia di punto zero

L'energia del punto zero è anche nota come energia dello stato fondamentale. Viene definito quando l'energia dello stato fondamentale è sempre maggiore di zero e questo concetto viene scoperto da Max Planck in Germania e la formula sviluppata nel 1990.

Energia media dell'equazione dell'oscillatore armonico semplice smorzato

Ci sono due tipi di energie: l'energia cinetica e l'energia potenziale. La somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale è uguale all'energia totale.

E = K + U ………………. Eq (1)

Dove E = Energia totale

K = energia cinetica

U = Energia potenziale

Dove k = k = 1/2 mv^Due………… eq (2)

U = 1/2 kx^Due………… eq (3)

ciclo di oscillazione per valori medi

I valori medi di energia cinetica e potenziale per ciclo di oscillazione sono pari a

Dove v^Due= v^Due(PER^Due-X^Due) ……. eq (4)

Sostituisci eq (4) in eq (2) e eq (3) otterrà

k = 1/2 m [w^Due(PER^Due-X^Due)]

= 1/2 m [Aw cos (wt + ø₀)]^Due……. eq (5)

U = 1/2 kx^Due

= 1/2 k [A sin (wt + ø₀)]^Due……. eq (6)

Sostituendo eq (5) e eq (6) in eq (1) si otterrà il valore energetico totale

E = 1/2 m [w^Due(PER^Due-X^Due)] + 1/2 kx^Due

= 1/2 m di larghezza^Due-1/2 m di larghezza^DuePER^Due+ 1/2 kx^Due

= 1/2 m di larghezza^DuePER^Due+1/2 x^Due(K-mw^Due) ……. eq (7)

Dove mw^Due= K , sostituisci questo valore nell'eq (7)

E = 1/2 K A^Due- 1/2 Kx^Due+ 1/2 x^Due= 1/2 K A^Due

Energia totale (E) = 1/2 K A^Due

Le energie medie per un periodo di tempo sono espresse come

PER_avg= U_avg= 1/2 (1/2 K A^Due)

Funzione d'onda dell'oscillatore armonico

L'operatore hamiltoniano è espresso come somma di energia cinetica ed energia potenziale ed è espresso come

ђ (Q) = T + V ……………… .eq (1)

Dove ђ = operatore hamitoniano

T = energia cinetica

V = Energia potenziale

Per generare la funzione d'onda, dobbiamo conoscere l'equazione di Schrödinger e l'equazione è espressa come

-đ^Due/ 2μ * d^Dueѱ_υ(Q) / dQ^Due+ 1 / 2KQ^Dueѱ_υ(Q) = E_υѱ_υ(Q) …………. eq (2)

Dove Q = Lunghezza della coordinata normale

Μ = massa effettiva

K = costante di forza

Le condizioni al contorno dell'equazione di Schrödinger sono:

Ѱ (-∞) = ø

Ѱ (+ ∞) = 0

Possiamo anche scrivere l'eq (2) come

d^Dueѱ_υ(Q) / dQ^Due+ 2μ / đ^Due(E_υ-K / 2 * Q^Due) ѱ_υ(Q) = 0 ………… eq (3)

I parametri utilizzati per risolvere un'equazione sono

β = ђ / √μk ……… .. eq (4)

d^Due/ dQ^Due= 1 / β^Dued^Due/ dx^Due………… .. eq (5)

Sostituisci eq (4) ed eq (5) in eq (3), quindi l'equazione differenziale per questo oscillatore diventa

d^Dueѱ_υ(Q) / dx^Due+ (2μb^DueE_υ/ đ^Due- X^Due) ѱ_υ(x) = 0 ……… .. eq (6)

L'espressione generale per serie di potenze è

ΣC¬nx2 …………. eq (7)

Una funzione esponenziale è espressa come

exp (-x^Due/ 2) ………… eq (8)

eq (7) viene moltiplicato per eq (8)

ѱυ (x) = ΣC¬nx2exp (-x2 / 2) …………… ..eq (9)

I polinomi dell'ermite si ottengono usando l'equazione seguente

ђ_υ(x) = (-1)^υ* exp (x^Due) d / dx^υ* exp (-x^Due) …………… .. eq (10)

La costante di normalizzazione è espressa come

N_υ= (1/2^υυ! √Π)^1/2…………… .eq (11)

Il soluzione semplice oscillatore armonico è espresso come

Ѱ_υ(x) = N_υH_υ(e) e^{-x2 / 2}……………… eq (12)

Dove N_υè la costante di normalizzazione

H _υè l'Ermita

e ^{-x2 / Due}è la gaussiana

Un'equazione (12) è la funzione d'onda dell'oscillatore armonico.

Questa tabella mostra il primo termine polinomi Hermite per gli stati di energia più bassi

^υ	0	1	Due	3
H_υ(Y)	1	2y	4y^Due-Due	8y³-12y

Le funzioni d'onda di semplice grafico dell'oscillatore armonico per quattro stati di energia più bassi sono mostrati nelle figure seguenti.

funzioni-onda- di- oscillatore- armonico

funzioni-d'onda-dell'oscillatore-armonico

Le densità di probabilità di questo oscillatore per i quattro stati di energia più bassi sono mostrate nelle figure seguenti.

densità-probabilità-di-forme d'onda

Applicazioni

La simplementare l'oscillatore armonicole applicazioni includono principalmente le seguenti

Sistemi audio e video
Radio e altri dispositivi di comunicazione
Inverter , Allarmi
Buzzer
Luci decorative

Vantaggi

Il vantaggi dell'oscillatore armonico siamo

A buon mercato
Generazione ad alta frequenza
Alta efficienza
A buon mercato
Portatile
Economico

Esempi

L'esempio di questo oscillatore include quanto segue.

Strumenti musicali
Pendolo semplice
Sistema di molle di massa
Swing
Il movimento delle lancette dell'orologio
Il movimento delle ruote di auto, camion, autobus, ecc

È un tipo di movimento, che possiamo osservare nelle nostre basi quotidiane. Armonico oscillatore la funzione d'onda usando Schrodinger e le equazioni dell'oscillatore armonico sono derivate. Ecco una domanda, che tipo di movimento eseguito dal bungee jumping?